\subsection{点的轨迹}\label{subsec:czjh2-7-22}

重物沿着直线自由下落，悬挂着的小锤沿着圆弧往复摆动，在一定的条件之下，
物体沿着一定的轨道运动，这些重物、小锤、物体等运动的轨道，都给我们点的轨迹的形象。

什么是点的轨迹呢？简单地说，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形。
符合某个条件的点的轨迹，就是符合某个条件的所有点的集合。
例如，把长度为 $r$ 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆。
这个圆上的每一个点，到定点的距离都等于 $r$，同时，到定点的距离等于 $r$ 的所有点，都在这个圆上。
这个圆就叫做到定点的距离等于定长 $r$ 的点的轨迹。

现在，可以给轨迹下定义：

如果下面的两个命题，都是正确的，即

\zhongdian{1. 图形 $F$ 上的每一个点，都符合某个条件 $C$；}

\zhongdian{2. 符合某个条件 $C$ 的每一个点，都在图形 $F$上，}

那么，图形 $F$ 是符合某个条件 $C$ 的\zhongdian{点的轨迹}。

在平面内，这里的图形 $F$ 一般是指某些线。

要注意上面的命题1和2互为逆命题，两者不能互相代替，必须1、2两个命题都是正确的，
图形 $F$ 才是符合条件 $C$ 的点的轨迹，两者缺一不可。

因为原命题和它的逆否命题是等价的，所以上面两个条件也可以说成：
“不符合某个条件 $C$ 的点，都不在图形 $F$上” 和 “不在图形 $F$上的点，都不符合条件 $C$”。

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹。

从上面对圆的讨论，我们知道，圆上的每一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
反过来，到定点的距离等于定长的点都在圆上。所以我们可以得出：

\begin{xingzhi}[轨迹1]
    到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
\end{xingzhi}

在第一册里我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；
反过来，和线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。所以有下面轨迹：

\begin{xingzhi}[轨迹2]
    和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
\end{xingzhi}

由角平分线定理和逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

\begin{xingzhi}[轨迹3]
    到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
\end{xingzhi}

如果一个动点 $P$ 在平面内运动，它到已知直线 $l$ 的距度始终等于定长 $d$。
我们发现，这个动点运动所形成的图形， 是在 $l$ 两侧的两条平行线 $l'$、$l''$，
它们到 $l$ 的距离都等于 $d$（图 \ref{fig:czjh2-7-81}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-81}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-81}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-82}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-82}
    \end{minipage}
\end{figure}

因为直线 $l'$、$l''$ 上的每一个点 $P$，到 $l$ 的距离都等于 $d$（夹在两条平行线间的平行线段相等）；
反过来，容易证明，如果点 $P'$ 到 $l$ 的距离等于 $d$， 那么点 $P'$ 一定在 $l'$（或 $l''$）上。
这样，我们得到下面轨迹：

\begin{xingzhi}[轨迹4]
    到一条已知直线距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线。
\end{xingzhi}

类似地可以得到：

\begin{xingzhi}[轨迹5]
    到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线距离相等的一条平行线
\end{xingzhi}（图 \ref{fig:czjh2-7-82}）。

在 \ref{subsec:czjh2-7-5} 节中我们学过，同弧上的圆周角相等。
如图 \ref{fig:czjh2-7-83} 中， $\yuanhu{AMB}$ 和 $\yuanhu{ANB}$ 上每一点，
与 $A$、$B$ 两个端点连线的夹角，都等于已知角；
反过来，在 \ref{subsec:czjh2-7-5} 节例 2 中我们又证明了， 不在 $\yuanhu{AMB}$ 和 $\yuanhu{ANB}$ 上的点与
$A$、$B$ 两点连线的夹角都不等于已知角。于是有下面轨迹：

\begin{xingzhi}[轨迹6]
    和已知线段两个端点连线的夹角等于已知角的点的轨迹，是以已知线段为弦，
    所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）
\end{xingzhi}（图 \ref{fig:czjh2-7-83}）。

要求出同时满足几个条件的点，可以利用上面几个已知轨迹，求满足各个条件的轨迹的交点。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-83}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-83}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-84}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-84}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti[0] 如图 \ref{fig:czjh2-7-84}， 已知 $\angle AOB$。 以已知长 $R$ 为半径，作圆与 $OA$、$OB$ 都相切。

分析：要作符合条件的圆，关键在于确定圆心的位置。

要使圆与 $\angle AOB$ 的两边都相切，这样的圆的圆心的轨迹是 $\angle AOB$ 的平分线；

要使半径等于 $R$ 的圆与 $OA$（或 $OB$）相切，这样的圆心的轨迹是距离 $OA$（或 $OB$）
等于 $R$ 的一条平行线（另一条在角外，不合题意）。

这两个轨迹的交点就是所求圆的圆心。

\zuofa 1. 作 $\angle AOB$ 的平分线 $OC$ （图 \ref{fig:czjh2-7-84}）。

2. 作直线 $DE \pingxing OA$， 并且使 $DE$ 与 $OA$ 的距离等于 $R$， $DE$ 与 $OC$ 交于点 $F$。

3. 以 $F$ 为圆心， 以 $R$ 为半径作 $\yuan\,F$。

$\yuan\,F$ 就是所求的圆。

上面的作图可以用来解决一些实际问题。
例如，有两段直路 $l_1$ 和 $l_2$， 它们的位置已经测定，
需要筑一段半径为 $R$ 的圆弧形道路把它们连接起来（图 \ref{fig:czjh2-7-85}）。
用上面例题的方法，就可以在图纸上画出这段圆弧 $\yuanhu{AB}$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-85}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-85}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec22-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{说明并作出下列点的轨迹（不要求证明）：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{到点 $A$ 的距离等于 5 cm 的点的轨迹；}

    \xxt{半径为 1 cm，并且与半径为 1.5 cm 的圆外切的圆的圆心的轨迹；}

    \xxt{斜边为 $AB$ 的直角三角形的顶点的轨迹；}

    \xxt{经过已知点 $A$ 和 $B$ 的圆的圆心的轨迹；}

    \xxt{半径为 2.5 cm，并且与已知直线 $l$ 相切的圆的圆心的轨迹；}

    \xxt{和两条已知直线 $l_1$ 和 $l_2$ 相切的圆的圆心的轨迹；}

    \xxt{对已知线段 $AB$ 的视角等于 $135^\circ$ 的角的顶点
        （就是使 $\angle APB = 135^\circ$ 的点 $P$）的轨迹。
    }

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{作半径为 $R$， 并且与已知 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 都相外切的圆。}

\end{lianxi}

